익산 ()
정의
조선후기 천문수학자 이상혁이 동 · 서양의 방정식론과 급수론을 연구하여 1868년에 저술한 수학서.
개설
『구일집(九一集)』의 저자 홍정하(洪正夏)와 함께 조선의 가장 위대한 수학자인 이상혁의 마지막 저서로 남병길(南秉吉)의 서문을 넣어 1868년에 출판되었다. 상편 「정부론(正負論)」은 방정식에 대한 이론으로 1차방정식부터 고차연립방정식의 구성과 해법을 정부이론으로 정리하였다. 하편 「퇴타설(堆垜說)」은 심괄(沈括)의 급수부터 주세걸(朱世傑)의 『사원옥감(四元玉鑑)』과 『수시력(授時曆)』에 들어있는 계차수열의 합을 포함하는 유한급수론을 확장하여 구조적으로 다루고 절적(截積)을 새로 도입하여 합을 구하고 있다. 또한 상·하권의 결과를 종합하여 응용문제를 다루었다.
편찬 및 발간 경위
저자가 『익산(翼算)』을 저술하면서 인용한 산서는 『구장산술(九章算術)』, 심괄의 『몽계필담(夢溪筆談)』(11세기 말), 진구소(秦九韶)의 『수서구장(數書九章)』(1247), 이야(李冶)의 『측원해경(測圓海鏡)』(1248), 『익고연단(益古演段)』(1259), 주세걸의 『산학계몽(算學啓蒙)』(1299), 『사원옥감』(1303)과 역지한(易之瀚)의 방정식론을 부록으로 넣은 나사림(羅士琳)의 『사원옥감세초(四元玉鑑細草)』(1834), 왕순과 곽수경(郭守敬)의 『수시력』(1280), 매문정(梅文鼎)의 『방정론(方程論)』(1672), 『소광습유(少廣拾遺)』(1692), 『수리정온(數理精薀)』(1722), 초순(焦循)의 『개방통석(開方通釋)』(1801), 남병길의 『산학정의(算學正義)』(1867)이다.
중국사상 가장 훌륭한 업적을 낸 송·원대의 수학부터 19세기까지 중국의 수학을 모두 연구한 뒤 방정식론과 유한급수론의 수학적 구조를 밝혀내고 새로운 결과를 얻어내어 『구일집』과 함께 조선 산학을 대표하는 위대한 저서 『익산』을 저술한 것이다. 남병길이 『익산』의 서문에서 쓴 대로 이상혁은 여러 상황을 종합적으로 논하고 그 근거를 철저하게 통찰하여 새로운 이론을 만들어냈다. 이상혁의 방정식론은 문자를 사용하는 대수학의 방정식론에 자리를 내줄 수밖에 없었지만 그의 퇴타술은 현대에도 그대로 사용될 수 있는 훌륭한 결과이다.
내용
상편 「정부론」은 방정식의 구성과 해법을 동시에 정부(正負: 양과 음)로 정리한 것이다. 『구장산술』의 「방정장」에서 연립1차방정식의 해법으로 도입된 행렬 표시와 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan Elimination)으로 알려진 행렬의 소거법이 도입되는데 이 과정에서 음수의 도입이 필수적이다. 증승개방법에서 사용되는 조립제법에도 음수의 연산이 들어 있어서 진구소의 『수서구장』 에는 증승개방법이 「정부개삼승방도」라는 이름으로 들어 있다. 동아시아 산학의 대수식은 등호를 사용하지 않아 산대 배열 상에서는 다항식의 천원술 표현과 방정식의 표현이 구별되지 않는다. 따라서 이 때문에 해설문에서는 다항방정식 1128564045 형태를 '식(式)' 혹은 ‘개방식(開方式)’으로 지칭하여 구별하였다. 한편 모든 방정식은 양수 해를 적어도 한 개 가지는 것으로 제한되어 위의 방정식의 1128564046는 반드시 양의 계수와 음의 계수를 가져야 한다.
이 때 양의 계수와 음의 계수를 가지는 부분의 계수를 모두 양으로 바꾼 것을 각각 1128564047라 하면 방정식 p(x)=0는 s(x)=t(x) 및 s(x)-t(x)=0와 동치인데, 이 중에 s(x)-t(x)=0를 정부상당식으로 일컫었다. 모든 항을 한 변으로 몰아서 정리했을 때 양의 값의 총합 ‘s(x)’와 음의 값의 총합 ‘-t(x)’가 ‘서로 같은 절댓값을 가지는[相當]’ 식이라는 뜻이다. 이는 동일한 값을 가지는 두 다항식을 서로 빼어 방정식을 구성하는 천원술의 상소법(相消法)에 대해 구조적인 해석을 가한 것으로, 유럽계 대수식 해법인 차근방법으로 방정식을 구성할 때 s(x)=t(x)를 사용하는 것과 차별성을 드러내려 한 것이다.
방정식의 구성과 해법에서 사용되는 등식의 성질 1128564050,1128564051과 함께 [1128564052]1128564053을 사용한다. 이들을 모두 정부 이론으로 이해하여, 1차 방정식부터 고차연립방정식의 구성과 해법의 구조를 밝혀내는데 전술한 인용서적에 들어있는 예를 선택하여 해설하고, 방정식론의 역사를 첨가하였다. 역지한의 방정식론의 영향을 많이 받았으며 2차방정식의 증승개방법에서 나타나는 번적(翻積)과 익적(益積)에 대한 충분조건을 구하였다. 그는 『수리정온』에 들어 있는 차근방비례와 방정식의 해법에 비하여 송·원대의 결과가 훨씬 앞서 있는 것을 보였다.
하편 「퇴타설」은 심괄의 급수부터 『사원옥감』에 이르는 퇴타술에 대한 역사부터 시작한다. 『사원옥감』은 방정식의 구성에 퇴타술을 사용하는데 그쳐 주세걸은 그의 업적 중에 가장 뛰어난 퇴타술의 구조를 제대로 나타내지 못하였다. 이상혁은 이를 구조적으로 정리하였다. 아래에서는 퇴타술의 용어를 차용하여 설명하기로 한다. 교초적(11285640541128564055)부터 시작하여 삼각살성갱낙일적 1128564056, 사각타(11285640571128564058)부터 사각살성적, 이들의 남봉적과 함께 1128564059과 원추타를 다루고 있다. 이 중에 1128564060, 1128564061은 이상혁 이 도입한 것으로 귀납적으로 일반화할 수 있음을 보여주고 각 급수를 정의하고 합을 구하고 있다.
그리고 위에 언급한 급수들의 절적 1128564062를 1128564063으로 나타내는 방법을 다루었다. 저자는 분적법을 도입하는데 간단한 예로 설명하면 1128564064과 같이 분해하는 것을 뜻한다. 이는 사다리꼴의 넓이를 삼각형과 평행사변형의 넓이로 나누어 계산하는 것으로 삼각타 이상의 절적에도 그대로 사용할 수 있는 것이다. 절적을 구하는 방법으로 분적법과 함께 계차수열의 합을 구하는 방법도 사용하였다. 이 결과에서 저자는 이들 급수들의 관계를 밝혀내었다. 그 중에 일부를 인용하면 다음과 같다.
1128564065; 1128564066; 1128564067.
위에 인용한 것들에서 저자가 상위 급수와 하위 급수 사이의 관계를 얻어내려고 노력한 것을 알 수 있다. 또 이들에 대한 증명은 현재 우리가 사용하는 귀납법의 과정을 사용한 흔적을 찾을 수 있다. 결과를 표로 정리한 후 『사원옥감』의 문제와 같은 유형의 문제 12개를 택하여 해결하는데 이는 상·하편의 결과를 종합한 것이다.
의의와 평가
『익산』은 저자 이상혁이 58세의 나이에 중국에서 전해진 동·서양의 수학을 모두 연구한 후 마지막으로 남긴 역작이며, 일관된 주장으로 동양 수학의 진수인 방정식론과 퇴타술을 구조적으로 정리한 수학서이다. 동양의 방정식론에서 방정식의 해법은 양의 유리수해 혹은 근삿값을 구하는 완벽한 방법이 11세기에 도입되어 대수학의 발전이 이루어지지 못하였다. 이상혁은 이를 뛰어넘지 못하였지만 정부 이론으로 정리한 방정식론과 그의 구조적 퇴타술은 당시의 수학서 중 가장 앞선 것으로 높게 평가된다. 현재 국립중앙도서관, 프랑스 동양언어문화학교에 소장되어 있다.
참고문헌
『한국과학기술사자료대계』수학편 1-10(김용운, 여강출판사, 1985)
『梅氏叢書輯要』
『中國歷代算學集成』(靖玉樹, 山東人民出版社, 1994)
『中國科學技術典籍通彙』數學卷(任繼愈, 河南敎育出版社, 1993)
