1919년 11월 20일 설립 인가를 받아 동년 11월 25일 4년제 공립보통학교로 개교하였다. 1923년 4월 1일 수업 연한 6년제로 승격되었으며, 1931년 4월 1일에는 학교림 7정보를 확보하였다. 1935년 4월 1일 별관 4교실을 증축하고, 1938년 4월 1일 봉계심상소학교로 명칭을 바꾸었다.
광복 후 1946년 4월 1일 봉계국민학교로 이름을 바꾸고, 그 해 9월 1일 15학급을 편성 운영하였다. 당시 학생 수는 862명이었다. 1975년 6월 15일 교육부 지정 자활급식 시범학교로 선정되었고, 1996년 3월 1일 봉계초등학교로 이름을 바꾸었다. 2009년 3월 1일부터 1년간 교원능력개발평가 시범학교를 운영하였다.
교훈은 ‘바르고 슬기롭고 굳센 어린이’이고, 교목은 강하고 굳센 정신을 가지며, 그늘을 만들어 주는 희생정신을 본받아 나라를 빛내는 국민이 되자는 뜻에서 느티나무로 하였다. 교화는 인내심이 강하고 시작하면 끝을 맺는 사람이 되자는 뜻에서 배롱나무로 정하였다.
봉계초등학교는 소규모 학교 간 인적 물적 자원을 공유하는 어울림교육과정을 운영하고 있다. 어울림교육과정 운영방식은 협력 학습활동과 각종 행사를 공동 개최하는 통합행사활동, 방과 후 학교활동과 수업지원활동 등이 있다.
2010년 4월 현재 1-6학년 6학급과 특수학급 1학급 등 모두 7개 학급에 62명의 학생이 재학하고 있다. 교사는 교장을 포함하여 12명이고, 행정실장을 포합하여 6명의 일반직이 근무하고 있다. 2010년 2월 17일 제88회 졸업식을 하였고, 총 5,021명의 졸업생을 배출하였다.