양휘산법 (揚輝算法)

양휘산법의 승제통변산보권중

과학기술

문헌

문화재

국가지정문화재

• 지정기관: 문화재청
• 종목: 보물(2012년 02월 22일 지정)
• 소재지: 서울특별시 서초구

정의

송나라의 수학자 양휘가 저술해 조선의 방정식 해법에 중요한 자료로 사용된 수학서.

개설

양휘는 『양휘산법(楊輝算法)』 이전에 『상해구장산법(詳解九章算法)』(1261)과『일용산법(日用算法)』(1262)을 저술하고, 진구소(秦九韶, 1202수식입니다.SIM 1262), 이야(李冶, 1192수식입니다.SIM 1279), 주세걸(朱世傑) 등과 함께 중국 수학사에서 가장 위대한 업적을 낸 송·원 시대의 4대 산학자 중의 한 사람이다.

『양휘산법』은 『승제통변산보(乘除通變算寶)』(1274) 3권, 『전무비류승제첩법(田畝比類乘除捷法)』(1275) 2권, 『속고적기산법(續古摘奇算法)』(1275) 2권으로 이루어져 있다. 조선 초기부터 산원의 취재 과목으로 정해져서 조선 산학의 발전에 크게 기여하였다.

편찬/발간 경위

송나라 시대에 출판된 『양휘산법』은 현존하지 않는다. 1378년에 출판된 것이 전해지고 있는데 『전무비류승제첩법』과 『속고적기산법』의 순서가 바뀌어져 있다. 1433년(세종 15) 5월 “경주부에서 출판한 『양휘산법』 100권을 8월 25일에 왕에게 올리니 집현전, 호조, 서운관, 습산국에 나누어 주었다”는 기록이 『세종실록』에 나타난다. 이것은『양휘산법』이 산원 뿐만 아니라 유학자, 천문학자들에게도 활용되었음을 알 수 있다.

경주에서 간행된 이 판본은 1378년에 간행된 것과 달리 순서를 제대로 갖추고 있으며, 임진왜란 때 일본으로 넘어가 일본의 산학자 세키 다카카즈(關孝和)가 1661년 필사한 책이 『중국과학기술전적통휘』(1993)에 영인본으로 출판되었다. 김시진(金始振)의 『산학계몽』 중간본(1660)의 서문에 『양휘산법』을 정철(松江)의 손자인 정양(鄭瀁)의 집에서 구할 수 있었다고 한 것으로 보아 17세기 중엽에는 『양휘산법』이 거의 유통되지 않았던 것으로 추정된다.

내용

양휘는 『상해구장산법』의 내용과 이의 비류(比類)를 이해하고 있다는 가정에서 『양휘산법』을 저술하였다. 11~12세기 송대에 방정식의 구성을 위하여 도입된 천원술, 2원술, 3원술의 역사, 가헌(賈憲)과 유익(劉益)이 얻어낸 방정식의 해법 등이 실전되었는데, 양휘는 이들을 인용하여 전승해 주었을 뿐 아니라 혁신적인 결과도 얻어내었다.

간략하게 저술되는 중국 산서의 전통으로 산서들은 연산법을 생략하였다. 그러나 양휘는 『승제통변산보』에서 산대를 사용한 곱셈과 나눗셈의 첩법(捷法)을 자세히 설명하였다. 특히 수의 인수분해와 결합법칙을 통한 계산을 하였다. 중국과 서양 수학이 다른 길을 걷는 것 중의 하나가 인수분해와 소수(素數)인데, 양휘는 이에 거의 접근한 유일한 중국 산학자이다.

『전무비류승제첩법』의 상권은 구장산술 방전장과 같이 직사각형의 넓이에서 곱셈을 도입하고, 도량형의 환산을 취급하였다. 원주율 수식입니다.pi 의 값으로 3 대신에 밀율(密率, 수식입니다.{22} over {7}), 휘율(徽率, 수식입니다.3.14)을 사용하여 원둘레(수식입니다.l= pi d: 수식입니다.d는 지름)와 원의 넓이 수식입니다.{pi d ^{2}} over {4}을 유휘가 『구장산술』에서 구한 수식입니다.{dl} over {4}에서 얻어낸 것이다. 평면도형의 넓이를 구하고 이의 비류로 등차수열의 합도 다루었다.

현재 전하지 않는 유익의 『의고근원(議古根源)』에서 일반 2차방정식을 기하적 방법으로 구성하고 또 근을 구한 것을 하권에서 인용되었다. 이에 근거하여 가헌의 증승개방법을 감종개방법이라는 이름으로 소개하였다. 삼각형·사다리꼴의 절전(截田)과 환전(環田)·호전(弧田)·전전(錢田) 등의 문제에서 방정식을 구성하였는데, 호전에서는 4차방정식이 나타나고 조립제법을 사용하여 해를 구하였다.

『속고적기산법』 상권에서 3차부터 10차까지 마방진을 들었는데, 3차 마방진을 구성하는 방법을 보여 낙서를 단순히 수학으로 보았다. 또한 마방진의 이형(異形)도 도입되었다.

『손자산경』에 들어있는 연립합동식을 다루고, 오음(五音)과 십이율(十二律)의 짝으로 이루어진 집합과 간지(干支)를 연결한 음양학파의 납음법(納音法)도 수학적으로 정리하였는데, 이를 위하여 함수, 합성함수의 개념이 도입되었다.

하권은 1차연립방정식, 부정방정식, 차분, 영부족 등을 다룬 후 유휘의 『해도산경(海島算經)』에 대한 기하적 증명을 함께 넣어 『해도산경』을 완전히 이해할 수 있게 하였다.

의의와 평가

양휘는 산학을 수학적 구조로 이해하고 낙서, 납음법 등도 수학으로 기술할 수 있음을 보이고, 수학에서 가장 중요한 함수의 개념을 가장 먼저 도입하였다. 증승개방법을 소개한 『수서구장』, 『상해구장산법』이 조선에 들어오지 않았기 때문에 양휘산법은 조선의 방정식 해법에 가장 중요한 자료가 되었다.

참고문헌

『中國數學史大系』5(吳文俊, 北京師范大學出版社, 2000)

『中國歷代算學集成』(靖玉樹, 山東人民出版社, 1994)

『中國科學技術典籍通彙』數學卷(任繼愈, 河南敎育出版社, 1993)

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집필자

김용운