천원술 ()
정의
산목을 사용하여 일차방정식의 근을 구하는 동양 전래의 계산법.
개설
천원술(天元術)이란 미지수(元)가 하나인 대수식 해법의 일종이다. 이 명칭의 유래는 ‘미지수를 x로 삼는다’는 뜻으로 ‘입천원일(立天元一)’이라고 표현한 것에서 비롯되었다. 여기서 천원은, 즉 태극은 천지가 형성되기 이전의 혼돈상태에 있는 만물의 근원이라는 뜻이다. 이에 대한 계산법은유리식 (수식입니다.sum _{k=0} ^{n} a _{k} x ^{k} + sum _{l=1} ^{m} b _{l} x ^{-l})을 나타내는 법과 이를 이용한 방정식으로 구성되어 있는데, 주어진 조건을 만족하는 방정식을 구성하는 일은 미지수(수식입니다.=x)를 선택하고, 주어진 조건을 만족하는 공식(수식입니다.p(x)=0)을 구하는 것이다.
동양에서 취급하는 방정식은 모두 다항방정식이다. 서양 수학에도 문자와 지수를 현재와 같이 표시한 것은 비에테(Viete, 1540수식입니다.SIM 1603)가 처음이고, 이전에는 다항식의 표현과 연산을 모두 문장으로 나타낼 수밖에 없었다.
11세기 천원술이 도입되어 송·원 시대의 방정식론에 새로운 전기가 마련되어 중국수학사에 가장 위대한 업적을 얻어낸다. 그러나 이는 명대에 잊혀지게 되지만, 조선에 전달되어 이를 발전시켜 중국과 다른 길을 걷게 되었다.
연원 및 변천
『구장산술(九章算術)』「소광장」에 들어있는 제곱근, 세제곱근을 구하는 것은, 즉 수식입니다.x ^{2} = alpha ,``x ^{3} =` alpha 방정식에서 시작된다. 이 때 수식입니다.alpha 를 실(實)이라 부른다. 풀이 과정에 일반 2차방정식과 3차방정식이 나타나지만, 이들을 방정식으로 취급하지는 않았다. 일반 2차방정식은 『구장산술』「구고장」에 한 문제가 들어있는데, 2차항의 계수는 1이므로 언급하지 않고 1차항을 종법, 상수항을 실로 나타내었다.
7세기 왕효통(王孝通)이 출판한『집고산경(緝古算經)』에 실, 방법(方法), 염법(廉法), 우(隅)를 사용하여 상수항, 1차항, 2차항, 3차항을 나타내었다. 왕효통 이후 천원술의 역사는 주세걸(朱世傑, 13세기 말~14세기 초)의『사원옥감(四元玉鑑)』(1303)에 조이가 쓴 후서에 들어있다. 11세기에 출판되었지만, 실전된 여러 산서에 천원술이 도입된 것으로 나타난다.
특히 유여해는 다항식뿐만 아니라, 유리식도 상수항부터 9차항을 차례로 인(人), 천(天), 상(上), 고(高), 층(層), 누(壘), 한(漢), 소(霄), 몀(明), 선(仙)으로, 수식입니다.x ^{-1}부터 수식입니다.x ^{-9}를 차례로 지(地), 하(下), 저(低), 감(減), 낙(落), 서(逝), 천(泉), 암(暗), 귀(鬼)로 나타내었다. 특징은 차수를 나타내는수식입니다.x ^{n}을 사용하지 않고, 해당하는 계수를 이들 단어와 함께 나타내는 것이다.
천원술은 이에 더 나아가 상수항부터 상하로 대응되는 계수만을 차례로 산대를 늘어놓아 나타낸다. 현재 다항식 연산을 할 때 최고차항의 계수를 왼쪽에서 시작하여 차례로 내려 쓰고 연산하는 것을 유리식까지 표현하고, 연산을 같은 방법으로 한 것이 천원술이다.
13세기에 천원(天元), 지원(地元), 인원(人元) 등의 세 미지수를 사용하는 3원술이 도입되어, 상수항 인(人)은 더 이상 사용할 수 없게 되어 태극(太極) 혹은 태(太)자를 사용하게 된다. 천원술로 표시한 식에서 상수항이나 1차항을 지정하여, 1차항의 계수 옆에 ‘원(元)’ 혹은 상수항 옆에 ‘태(太)’자를 넣었다.
금·원의 이야(李冶, 1192~1279)는 『측원해경(測圓海鏡)』(1282)에서 이 방법을 사용하였고, 남송의 진구소(秦九韶, 1202?~1261?)는 『수서구장(數書九章)』(1247)에서 천원술을 이용하여 방정식을 구성하는 것은 취급하지 않고, 조립제법을 사용하는 개방법에서 이 표현을 사용하는데, 각 계수 옆에 우, 하렴, 성렴, 효렴, 행렴, 유렴, 재렴, 차렴, 상렴, 방, 실을 붙여놓고, 천원이라는 단어는 사용하지 않았다.
남송의 양휘(楊輝, 13세기 중반)도 진구소와 마찬가지로 그의 『속고적기산법(續古適奇算法)』(1275)에서 같은 기법을 사용하였지만, 우, 하렴, 상렴, 방법, 실을 사용하였다. 『측원해경』은 직각삼각형에 여러 종류의 조건을 주고, 내접하는 원의 지름을 구하는 문제 170개로 되어 있다.
이야의 『익고연단(益古演段)』(1259)은 천원술과 전통적인 방법을 이용하여 2차방정식을 구하는 것을 비교한 책이다. 우리가 구하는 미지수를 수식입니다.x로 놓고 시작하는 것과 같이 구하는 미지수를 천원1(수식입니다.=`1 TIMES x)로 놓는 것을 ‘입천원일위(立天元一爲) 미지수’라는 것으로 시작하여 후에 천원술이라 부르게 되었다.
주세걸은『산학계몽(算學啓蒙)』(1299) 하권 「방정정부문(方程正負門)」에서 구고술(句股術)의 문제를 전통적인 방법과 천원술의 방법을 비교하는 것으로 시작하여, 「개방석쇄문(開方釋鎖門)」에서 천원술을 사용하여 방정식을 구성하는 28문제를 다룬다. 『산학계몽』에 나타나는 천원술은 『측원해경』과 달리 모두 다항식만 나타난다.
한편, 『사원옥감』은 천, 지, 인에 이어 물원(物元)을 더한 4원술을 도입하여 고차연립방정식을 다루고 전통적인 기하문제를 벗어나 퇴타술, 초차술의 문제를 해결하였지만, 지나치게 간략하게 저술되어 19세기까지 제대로 읽히지 못하였다. 명대에 산대가 사라지고, 『측원해경』의 문제를 모두 전통적인 방법으로 해결한『측원해경분류석술(測圓海鏡分類釋術)』(1550)이 고응상에 의하여 출판되면서 『산학계몽』은 잊혀지게 된다.
청대에는 『수리정온(數理精薀)』(1723)에 들어있는 다항식의 표현 방법인 차근방비례가 천원술을 대치한다. 매각성이 『측원해경』을 제대로 읽지 않고, 『사원옥감』에 들어 있는 예만 들어 차근방비례와 천원술이 같다고 주장하여 18세기 말에 천원술이 다시 연구될 때까지 천원술의 명맥이 끊어졌다.
내용
“입천원일위(立天元一爲) ...”에서 미지수를 결정하고 주어진 조건에서 미지수에 관한 다항식 수식입니다.p(x)를 구하고 여적석쇄(如積釋鎖)라 부르는 과정을 통하여 방정식 수식입니다.p(x)= alpha (수식입니다.alpha 는 실수)를 구한다. 등호가 도입되지 않아서, 다항식과 방정식의 구별이 되지 않아 방정식의 경우에 ‘식’ 혹은 ‘개방식’이라는 말을 넣어 구별하였다. 수 계수만 다루어 방정식의 구조를 연구하는 대수학으로 발전하지 못하였다.
의의와 평가
송나라 때에 산목(算木)으로 사용하게 된 이 천원술이 우리나라에 전하여진 것은 『산학계몽(算學啓蒙)』이 처음인데, 이는 1660년(현종 1)김시진(金始振)이 『산학계몽』을 중간(重刊)한 이유로 천원술을 들고 있기 때문이다.
또한 조선의 중인 산학자 경선징(慶善徵, 1616수식입니다.SIM ?)이 저술한 『묵사집산법(默思集算法)』에서는 책의 편제와 내용에서 『산학계몽』의 영향을 볼 수 있고, 박율(朴繘, 1621수식입니다.SIM 1668)은 천원술을 포함한 『산학원본(算學原本)』(1700)을 저술하였다. 이후 홍정하(洪正夏, 1684~?)는 『산학계몽』의 천원술을 뛰어넘어 18세기 초 가장 뛰어난 방정식론을 포함하는 『구일집(九一集)』을 저술하였다. 이들 자료는 우리나라가 조선 초기부터 수학의 기초 이론이 확립되었음을 보여주고 있다는데 의미가 있다.
참고문헌
『구일집(九一集)』
『산학원본(算學原本)』
『산학계몽』상·중·하(주세걸 지음, 허민 옮김, 소명출판, 2009)
『한국수학사』(김용운·김용국, 과학과 인간사, 1977)
『中國數學史大系』5·6(吳文俊 主編, 北京師范大學出版社, 1999수식입니다.SIM 2000)
『中國歷代算學集成』(靖玉樹 編勘, 山東人民出版社, 1994)
『中國科學技術典籍通彙』數學卷(任繼愈 主編, 河南敎育出版社, 1993)
