전라북도(현, 전북특별자치도) 전주 출생. 본관은 전주. 호는 은석(隱石).
아버지는 해방 이후 한민당의 주역 중 한 사람이었던 호남의 재력가 유직양(柳直養)이다. 유직양은 호남의 첫 대학인 명륜대학교를 전주에 세웠고, 1948년 정부 수립 이후 이를 정부에 헌납해 전북대학교의 모체가 되었다.
유청은 전주고등보통학교(19311936년)를 마친 후 서울대학교 상과대학의 전신인 경성고등상업학교(19371940년)를 졸업하고 교육계에 투신했다. 일제강점기에 전주고등보통학교에 봉직한 후 해방 후에도 전주고등학교에 남아 교장을 지내면서(19491952년) 이 학교를 호남의 명문으로 만드는 데 기여했다. 이후 전주상업고등학교 교장(19521954년)과 전주북중학교, 전주남중학교 교장을 지냈다.
1958년 민주당 공천으로 제4대 민의원(19581960년)에 당선되어 정계에 입문한 후 5대 민의원(19601961년), 6대 국회의원(19631967년), 8대 국회의원(19711972년)을 지내는 동안 줄곧 문공위원으로 활약하였다. 유청은 윤보선(尹潽善), 유진산(柳珍山), 고흥문(高興門), 김영삼(金泳三) 등으로 이어지는 민주당 구파의 핵심인물로 활약했지만, 정일형(鄭一亨), 윤제술(尹濟述), 김대중(金大中) 등 민주당 신파들과도 교류를 쌓아 나갔다. 1971년 신민당 전당대회 의장을 지내고 1972년에는 양일동(梁一東)의 통일당에 입당하였으며, 1997년에는 김대중의 국민신당에 입당하였다. 만년에 전주고등학교 총동창회장으로서 모교 기숙사를 짓고 장학재단을 조성했다.