개방법 ()
정의
조선시대 다항방정식의 해를 구하는 계산법.
개설
방정식의 해를 구하는 것은 대수학에서 가장 중요한 분야이다. 동양의 수 체계는 유리수체이고 서양은 일찍부터 무리수를 포함하는 실수체와 이의 확장으로 복소수체가 도입되어 개방법은 완전히 다른 길을 걷게 된다.
2차방정식의 근의 공식부터 시작하여 일반 다항방정식의 해를 계수와 근호만으로 표현하려는 노력에서 서양의 대수학이 발전한 것에 반하여 11세기 중국에서 유리수 해를 구하는 방법이 도입되어 개방법은 더 이상 발전할 필요가 없게 되었다. 조선은 홍정하(1684수식입니다.SIM ?)가 『양휘산법』과 『산학계몽』에 들어있는 초보적인 자료만 가지고 개방법을 완벽하게 확립한 것이 『구일집』에 나타난다.
연원 및 변천
방정식의 해법은 제곱근, 세제곱근을 구하는 것으로 시작하였는데, 이는 기원전 18세기경 이미 바빌로니아 점토판에 나타난다. 그러나 개방법을 정확하게 설명한 것은『구장산술』소광장이다. 소광장은 정사각형의 넓이, 정육면체의 부피를 주고 한 변을 구하는 것으로 개방, 개입방 혹은 개방제지(開方除之), 개입방제지라 하고, 원과 구의 넓이와 부피를 주고 지름을 구하는 문제를 개원, 개입원이라 하여 함께 다루었다. 이들은 방정식 수식입니다.x ^{n} = alpha , 수식입니다.ax ^{n} = alpha (수식입니다.alpha 는 유리수)의 해를 구하는 것이다.
신라시대 산학 교육에 삼개(三開)라는 과목이 들어있는데 이들을 뜻하는 것으로 추정된다. 왕효통은 『집고산경(7세기)』에서 일반 3차방정식을 구성한 후 “종개입방제지(從開立方除之)”, 즉 “개입방제지”에 따라 해를 구한다는 말만 하고, 그 과정은 전혀 언급하지 않았다. 이후의 대부분의 산서들도 이 전통을 따라 일반 다항방정식의 개방법의 과정을 생략하였다.
11세기경 일반 고차방정식에 대한 연구가 기하적인 방법에서 대수적인 방법으로 전환하면서 가헌(賈憲), 유익(劉益) 등에 의하여『구장산술』에 들어있는 전통적인 방법에서 벗어나 조립제법을 사용하는 증승개방법이 도입되어 다항방정식의 유리수 근이나 근사해를 구하는 방법이 확립되었다. 서양에서는 4차 이하의 방정식은 근의 공식을 얻어내었지만 18수식입니다.SIM 19세기에 5차 이상의 다항방정식은 근의 공식이 존재하지 않음을 보이는 과정에서 대수학이 발전하였다.
내용
『구장산술』에 들어있는 제곱근 수식입니다.sqrt {a} =x를 구하는데 최고 자릿수 수식입니다.alpha 를 초상이라 하고 나머지를 수식입니다.y라 하자. 넓이 수식입니다.a를 가지는 정사각형의 한 변 수식입니다.x를 수식입니다.x=y+ alpha 로 나누어 자르면 도형에서 간단히 수식입니다.y ^{2} +2 alpha y=a- alpha ^{2}을 얻는다. 이를 풀어 다음 자릿수 수식입니다.y를 구한다. 정육면체도 같은 방법으로 세제곱근 수식입니다.root {3} of {a}의 초상을 수식입니다.alpha 라 하면 다음 자릿수를 위한 방정식 수식입니다.y ^{3} +3 alpha y ^{2} `+3 alpha y=a- alpha ^{3}을 얻는다. 이 방법을 가헌(賈憲)은 석쇄개방법이라 하였다. 일반 2차방정식은 직사각형의 두 변 수식입니다.alpha ,`` beta 의 합(수식입니다.=수식입니다.alpha + beta )이나 차(수식입니다.= alpha - beta )와 넓이(수식입니다.= alpha beta )를 주고 두 변을 구하는 것으로 정형화되었다. 수식입니다.LEFT ( alpha ± beta RIGHT ) ^{2} = LEFT ( alpha -+ beta RIGHT ) ^{2} ±4 alpha beta 에서 수식입니다.alpha ± beta 를 구하여 주어진 조건을 사용하여 두 변을 구하였다. 이는 현재 사용하는 근의 공식과 같은 것으로 고법(古法)이라 한다.
일반 다항방정식 수식입니다.p(x)=0 (수식입니다.p(x)는 다항식)의 초상 수식입니다.alpha 에 대하여 수식입니다.x=y+ alpha 를 수식입니다.p(x)에 대입하여 수식입니다.(y+ alpha ) ^{n}을 전개한 후 정리하여 수식입니다.y에 대한 방정식 수식입니다.q(y)=0을 얻는다. 전개식의 계수는 Pascal(1623수식입니다.SIM 1662) 삼각형으로 알려진 것으로 구할 수 있는데, 가헌이 11세기에 이미 이를 도입하였다.
한 편 수식입니다.p(x)를 수식입니다.x- alpha 로 나누어 나머지 정리에 의하여
수식입니다.p(x)수식입니다.=q _{1} (x)(x- alpha )+b _{0} ```수식입니다.= LEFT [ q _{2} (x)(x- alpha )+b _{1} RIGHT ] (x- alpha )+b _{0}수식입니다.=.``.``.수식입니다.=b _{n} (x- alpha ) ^{n} +b _{n-1} (x- alpha ) ^{n-1} +.``.``.+b _{1} (x- alpha )+b _{0}
의 첫 식에서 수식입니다.b _{0}을 얻고, 몫 수식입니다.q _{1} (x)를 다시 수식입니다.x- alpha 로 나누어 수식입니다.b _{1}을 얻고 같은 방법을 계속하여 수식입니다.b _{0} ,b _{1} ,...,b _{n}을 얻어 수식입니다.y=x- alpha 에서 수식입니다.y에 대한 방정식 수식입니다.q(y)=0을 얻는다. 이 과정은 조립제법을 사용하여 구한다. 위의 두 방법에서 구한 방정식 수식입니다.q(y)=0의 해의 최고 자릿수는 수식입니다.p(x)=0의 해의 둘째 자릿수가 된다.
이 방법을 계속하여 차례로 자릿수를 구하는데, 전자를 석쇄개방법 혹은 전통적인 구장 방법이라 하고 후자를 증승개방법(增乘開方法)이라 한다. 이 방법을 필요한 만큼 적용하여도 해가 구하여지지 않는 경우는 일차식으로 근사시켜 근사해를 구한다. 19세기 이전 동양의 방정식은 음수 해는 전혀 생각하지 않았다. 가헌은 개방, 개입방만 증승개방법이라 하고, 유익은 일반 2차방정식에 이 방법을 기하적으로 얻어내고 감종개방법이라 하였다.
한편 양휘는 체승개방법(遞乘開方法), 진구소는 4차 방정식의 경우 정부개삼승방(正負開三乘方)이라 하여, 13세기에는 통일된 이름이 없었다. 조선은 유익의 결과를 포함한 『양휘산법』과 4제곱근까지를 구한 『산학계몽』의 결과를 토대로 방정식의 해법에 대한 연구가 이루어졌다. 서양에서는 이 방법이 19세기 초에 도입되는데, Ruffini(1765수식입니다.SIM 1822)-Horner(1786수식입니다.SIM 1837) 방법이라 한다.
의의와 평가
조립제법은 간단한 연산이고, 유리수체에서 방정식의 해는 증승개방법으로 충분히 구할 수 있어서 방정식의 해법에 관한 연구는 더 이상 할 필요가 없게 되었다. 방정식의 해를 위하여 도입된 복소수체와 근의 공식에서 발전된 대수학은 서양 수학과 동양 수학을 완전히 갈라놓았다.
참고문헌
『구일집(九一集)』
『中國數學史大系』5, 6권(吳文俊 主編, 北京師范大學出版社, 1999수식입니다.SIM 2000).
『中國科學技術典籍通彙』數學卷(任繼愈 主編, 河南敎育出版社, 1993).
『中國歷代算學集成』(靖玉樹 編勘, 山東人民出版社, 1994).
