본관은 은진(恩津). 자는 직경(直卿), 호는 추양(秋陽). 송준길(宋浚吉)의 후손이다. 아버지는 증좌찬성 송시연(宋時淵)이며, 어머니는 평산신씨(平山申氏)로 증사헌부대사헌 신소(申韶)의 딸이다. 유년시절에 할아버지 송명흠(宋明欽)에게 수학하였다.
1796년(정조 20) 우의정 윤시동(尹蓍東)이 송계간의 학행(學行)을 천거하여 부사용(副司勇)에 제수되었고, 그 뒤 대사헌 이직보(李直輔), 홍문관교리 이지연(李止淵), 영의정 남공철(南公轍) 등의 추천으로 형조참의·성균관좨주(成均館祭酒)·사헌부대사헌 등의 요직에 임명되었으나 나아가지 않았다. 시호는 문경(文敬)이며, 저서로 『추양유고(秋陽遺稿)』가 있다.