본관은 안동(安東). 자는 자명(子明), 호는 동곡(東谷). 권희윤(權禧胤)의 증손으로, 할아버지는 권결(權潔)이고, 아버지는 권확(權鑊)이며, 어머니는 안사흠(安士欽)의 딸이다.
1629년(인조 7) 별시문과에 병과로 급제한 뒤 검열·주서·봉교를 거쳐, 1636년 부수찬이 되었다. 그 뒤 지평·교리·정언 등 청환직(淸宦職)을 역임하였다. 1650년(효종 1) 홍문관응교로서 『인조실록』의 편찬에 참여하였다.
사인·집의·보덕·사간을 거쳐, 1651년 사은사(謝恩使)의 서장관으로 청나라에 다녀왔다. 1654년 경상도관찰사로 나가 경상도의 속오급보법(束伍給保法)을 정하도록 요청하였다.
이듬해 충청도관찰사, 1657년부터 1659년까지 대사간·전라도관찰사·함경도병마절도사·함경도관찰사 등 외관을 지내면서, 지방 민정의 어려움을 해결하는데 노력하였다.
즉, 함경도병마절도사를 지낼 때는 북로소복책(北路蘇復策)을 진언하기도 하였다.
1662년(현종 3)에는 내관으로 들어와 예조참판이 되었고, 이듬해에 도승지·강화유수가 되었으나 사헌부의 탄핵을 받아 파직당하였다.
1665년에 다시 기용되어 장악원정(掌樂院正)이 되었는데, 이때 권우는 묘악(廟樂)을 정리하도록 지시하여 음률의 체제를 정비하는 데 힘썼다.
1668년에 부호군(副護軍), 1671년에 판결사(判決事), 이듬해 한성부좌윤을 거쳐 1674년 사은사 김수항(金壽恒)의 부사로 청나라에 다녀왔다. 1675년(숙종 1) 7월 서울의 자택에서 사망하였다.