본관은 순흥(順興). 자는 윤숙(允叔). 서울 출생. 안경(安瓊)의 증손으로, 할아버지는 안돈후(安敦厚)이고, 아버지는 좌의정 안당(安瑭)이다. 어머니는 전의이씨로, 경원부사 이영희(李永禧)의 딸이다. 안처겸(安處謙)의 아우이며, 안처근(安處謹)의 형이다.
학업에 전념하여 1519년(중종 14) 현량과에 3등으로 급제하였으며, 그 뒤 수찬(修撰)·이조좌랑을 지냈다.
1521년(중종 16) 형 안처겸이 남곤(南袞)·심정(沈貞) 등의 대신을 모해하려 하였다는 죄목으로 처형당할 때 이에 연좌되었다. 그러나 송처함은 국문에서 송사련(宋祀連)으로부터 형이 남곤과 심정을 헐뜯었다는 이야기를 전해 듣고 이를 아버지에게 고한 뒤 함께 고향으로 낙향했을 뿐 그들과 직접 연결된 일이 없다고 해명했고, 이것이 받아들여져 죽음은 면하였다.