본관은 안동(安東). 자는 자명(子明), 호는 동곡(東谷). 권희윤(權禧胤)의 증손으로, 할아버지는 권결(權潔)이고, 아버지는 권확(權鑊)이며, 어머니는 안사흠(安士欽)의 주1
1629년(인조 7) 별시문과에 병과로 주2한 뒤 검열 · 주서 · 봉교를 거쳐, 1636년 부수찬이 되었다. 그 뒤 지평 · 교리 · 정언 등 청환직(淸宦職)을 역임하였다. 1650년(효종 1) 홍문관응교로서 『인조실록』의 편찬에 참여하였다.
사인 · 집의 · 보덕 · 사간을 거쳐, 1651년 사은사(謝恩使)의 서장관으로 청나라에 다녀왔다. 장악원정(掌樂院正) 재임시에 권우는 묘악(廟樂)을 정리하도록 지시하여 음률의 체제를 정비하는 데 주3 1654년 경상도관찰사로 나가 경상도의 속오급보법(束伍給保法)을 정하도록 요청하였다.
이듬해 충청도관찰사, 1657년부터 1659년까지 대사간 · 전라도관찰사 · 함경도병마절도사 · 함경도관찰사 등 외관을 지내면서, 지방 민정의 어려움을 해결하는데 노력하였다. 즉, 함경도병마절도사를 지낼 때는 북로소복책(北路蘇復策 : 북방 지역 재건 정책)을 진언하기도 주4
1662년(현종 3)에는 내관으로 들어와 예조참판이 되었고, 이듬해에 도승지 · 강화유수가 되었으나 사헌부의 탄핵을 받아 파직당하였다.
1668년에 부호군(副護軍), 1671년에 판결사(判決事), 이듬해 한성부좌윤을 거쳐 1674년 사은사 김수항(金壽恒)의 부사로 청나라에 다녀왔다. 1675년(숙종 1) 7월 서울의 자택에서 사망하였다.