본관은 사천(泗川). 자는 요경(堯卿), 호는 하담(荷潭). 목희안(睦希顔)의 증손으로, 할아버지는 목세칭(睦世稱)이고, 아버지는 이조참판 목첨(睦詹)이며, 어머니는 증판서 전의이씨 이보(李寶)의 딸이다.
선공감가감역·의금부도사·장원서별좌 등을 역임하면서 공정하고 사심없는 자세로 공무를 처리하여 작은 뇌물도 받은 적이 없었다. 한번은 목수흠이 없는 사이에 서리(胥吏) 한 사람이 생선을 집에 바치니, 부인이 난간에 걸어두어 썩게 되었다.
목수흠의 청렴결백함이 온 집안에 미친 결과였다. 또, 효성이 지극하여 부모에게 바치는 약은 먼저 자신이 맛을 보고 처방대로 지었는가를 확인하였으며, 1593년 여름 아버지가 사망하자 식음을 전폐하고 애통해 하다가 수일만에 병사하였다.