할아버지는 고구려 말기의 집권자인 연개소문(淵蓋蘇文)이고, 아버지는 그의 장자로서 태막리지(太莫離支)에 오른 연남생(淵男生)이다.
665년(보장왕 24) 연개소문이 죽자 남생(男生)이 정권을 장악한 뒤 지방의 여러 성을 순시하였는데, 이 틈을 타 남생의 동생 남산(南山)과 남건(南建)이 정변을 일으켜 수도를 장악하였다. 헌충은 이 때 평양에 남아있다가 죽음을 당하였다.
이에 남생은 국내성(國內城)으로 달아나 세력을 규합하여 오골성(烏骨城)을 공격한 뒤 다시 요동의 현도성으로 옮겨 염유(冉有)와 아들 헌성(獻誠)을 당나라에 파견하여 당군의 원조를 구하였다. 결국 연씨형제의 분열로 세력이 약화된 고구려는 멸망하고 말았다.