본관은 은진(恩津). 자는 성백(誠伯), 호는 문도재(聞道齋). 아버지는 송시염(宋時琰)이다. 송시열(宋時烈)의 당질로 송시열·송준길(宋浚吉)의 문인이다.
회덕·연산 지방을 생활무대로 일찍부터 동문인 동시에 스승인 송시열·송준길의 감화를 받아 학문과 덕행이 뛰어났다. 과거를 포기하고 학문에 전념한 나머지 문하에 제자가 많았다. 효종과 현종 때 기호지방의 대표적인 유일(遺逸: 과거를 거치지 않고 높은 학문과 덕망으로 상위 관직에 임명될 수 있는 인물)로 천거된 바 있다.
1659년(효종 10) 자의대부(諮議大夫)에, 1669년(현종 10) 사헌부지평(司憲府持平), 1673년 사헌부장령(司憲府掌令)에 임명되었으나 모두 부임하지 않았다. 송기후는 시종 산림처사(山林處士)로서 향촌에서 자제를 교육하고, 효제(孝悌)를 몸소 실천하였다. 혈연과 지연상 기호학파에 속하였다.