본관은 성주(星州). 자는 인경(寅卿). 참판을 지낸 이준구(李俊耉)의 증손이고, 아버지는 이덕명(李德明)이며, 어머니는 박세채(朴世采)의 딸이다.
1739년(영조 15) 세자시강원(世子侍講院)의 참하(參下)에 비의(備擬: 관직 후보자 명단이 삼망에 오름.)되자, 정언 박치문(朴致文)이 이응협이 미친 병이 있으니 쓰지 말도록 아뢰었으나, 좌의정 송인명(宋寅明)이 감싸주어 설서(說書)가 된 뒤 지평·정언을 역임하였다.
1746년(영조 22) 도당록회권(都堂錄會圈)에 뽑히자 수찬 홍익삼(洪益三)이 “이응협은 문장에는 여유가 있으나 본래부터 광병(狂病)이 있어 이따금씩 발작하니 결코 강연(講筵)의 출입에는 부적합하다.”고 반대하였다. 1747년 지평·수찬·정언·부수찬·헌납을 거쳐 이듬 해 헌납·부교리를 지냈다.
1749년 사간으로서 교리·겸문학(兼文學) 승지를 거쳐 1750년 대사간에 이르렀다. 1753년 회양부사(淮陽府使)로 나갔다가 이듬해 다시 대사간이 되었다.
1756년 동의금부사(同義禁府事)에 올랐으나, 미쳤다고 소문이 나서 동료들이 이응협과 한 패가 되는 것을 부끄럽게 여겼음에도 불구하고 요행으로 2품에 올라 은대(銀臺)의 장석(長席)까지 차지했다는 비난을 받았다.
1757년 우윤(右尹)을 거쳐 병조참판에 임명되자 헌납 안극효(安克孝)가 이응협은 성질이 미친 데에 가까워서 제사(諸司)의 이예(吏隷)들이 들어오는 것을 언짢게 여기고 가는 것을 축하하니, 영원히 사판(仕版: 벼슬아치의 명단)에서 삭제하도록 요구했으나 오히려 안극효가 파직되었다.
그 뒤 대사간·대사헌을 거쳐 1760년에 도승지에 임명되었으나, 성질이 미친 듯이 거칠다는 지목을 받아온 사람에게 근밀(近密: 왕의 가까이서 삼가고 비밀을 지킴)한 자리의 관직을 줄 수 없다는 의견에 따라 체직(遞職: 관직이 교체됨)되었다. 1763년 동지부사(冬至副使)에 임명되었다가 교체되었다. 1767년에는 예조참판·병조참판을 지냈다.