본관은 안동(安東)이다. 고려의 개국공신 권행(權幸)의 9대손으로, 아버지는 권수평(權守平)이다. 고종대 대몽외교와 최씨정권의 권력 승계에 일정한 역할을 했다.
어사(御史)로서 1240년(고종 27) 예빈소경(禮賓少卿) 송언기(宋彦琦)와 함께 몽고에 다녀왔다. 1247년(고종 34) 당시 집권자였던 최우(崔瑀)가 아들 최만전(崔萬全)을 승려에서 환속시켜 최항(崔沆)으로 이름을 고치고, 시랑(侍郞)인 권위에게 예의를 가르치게 하였다. 권위로부터 교육받은 최항은 이후 최씨정권의 제3대 무신집권자가 되었다.
1254년(고종 41) 아들인 권단이 젊어서 불교에 심취해 있자 권위는 권단이 출가할 것을 염려하여 문하녹사(門下錄事)의 벼슬을 구해와 취임시킴으로써 가문의 대를 잇도록 하였다.
1255년(고종 42) 최항이 아들 최의(崔竩)에게 권력을 물려줄 때에도 최씨 후계자에게 정치와 예의를 가르쳤다. 이후 최씨집정의 사부로서 추앙받으며 판태복시사(判太僕寺事), 한림학사(翰林學士) 등의 요직을 역임했다.