호는 석천(石泉)이며 강원도 원주 출신. 유상우(柳祥雨)의 아들이다.
원주보통학교를 졸업한 뒤 경성사범학교에 입학, 1945년에 졸업하였다. 광복을 맞아 경기도 광탄초등학교에서 잠시 근무하다가 서울대학교 사범대학 교육학과에 진학하여 1949년에 졸업하였다.
그 뒤 동성고등학교·서울고등학교에서 교편생활을 하다가 6·25전쟁이 끝난 직후에 미국으로 건너가, 하버드대학교 대학원에 입학하여 1955년에 석사학위, 1958년에 교육학 박사학위를 취득하였다. 귀국하여 1958년 4월부터 서울대학교 조교수로 재직하다가 같은 해 11월 숙명여자대학교로 자리를 옮겨 1964년 11월까지 근무하였으며, 그 동안 문리과대학장·대학원장을 역임하였다.
5·16군사정변 후 한때 국가재건최고회의 의장 고문직을 지내기도 하였으며, 1965년 3월부터는 건국대학교의 초빙을 받아 1974년 2월까지 문리과대학에 근무하면서 1970년 10월부터 2년간 한국교육학회 회장을 역임하였다. 그 뒤 한양대학교 사범대학이 신설되면서 1974년 3월부터 교수 겸 학장직을 맡았으며, 1976년 10월부터 4년간 국민윤리학회 회장직을 맡아 학회의 발전적 기반을 닦았고, 국민윤리학의 학적 정립에 공헌하였다.
한편, 세계비교교육학연합회 이사로 1980년 7월 제4차대회를 서울에 유치, 대회장(大會長)으로서 400여 명의 외국학자와 더불어 국제학술대회를 개최하여 한국 학술사(學術史)에 크게 공헌하였다. 또한 국민윤리학 발전에 대한 공헌이 인정되어 이 분야의 학술원 정회원이 되었고, 한국교육개발원 이사장직을 맡기도 하였다.
그 뒤 1981년 12월부터 3년간 대한교육연합회 회장에 취임하여 「사도헌장(師道憲章)」 및 「사도강령」을 제정하여 공포하였다. ‘스승의 날’을 부활시키는 한편, 교원복지회관 건립을 기공하는 등 교원의 사회적·경제적 지위 향상과 복지증진을 위한 획기적인 전기를 마련하였다. 또한 세계교직자단체(WCOTP) 대표로 참석하여 한국교육을 세계에 소개함으로써 국위 선양에도 크게 이바지하였다.
저서로는 『인간과 교육』·『비교교육학』·『교육과 주체성』 등이 있다.