1770년(영조 46)에 서울에서 출생하였다. 1801(순조 1)에 생원시에 입격하고, 1809년(순조 9)에 문과 별시에서 장원급제하였다. 세자시강원 문학을 거쳐 홍문관 응교를 지내던 중 1813년(순조 13) 3월에 황해도에 암행어사로 파견되었다. 이재수는 지방관의 잘잘못을 보고하였으며, 황해도 지역의 전답의 개량, 군정의 이정(釐正), 와환(臥還)의 혁파, 어염의 감세(減稅) 등 삼정의 개혁을 요청하였다.
1813년(순조 13)에 양제해(梁濟海) 등 제주도민들이 난을 일으키자, 1813년 12월 제주 찰리사(察理使) 겸 위유사(慰諭使)로 임명되었다. 이재수는 양재해 등 죄수 7명과 변란에 가담한 사람들을 경중에 따라 사건을 처리할 것을 주장하였으며, 제주목사 김수기의 탐학을 아뢴 뒤에 파직을 건의하였다. 또 제주도민을 위무하기 위해 정의현과 대정현에 거주하는 80세 이상의 제주도민 630명에게 잔치를 베풀고, 행실과 재능이 뛰어난 인물을 조정에 추천하였다.
이재수는 별단(別單)에서 제주목의 각종 폐해를 바로잡기 위한 10개의 방안을 올렸는데, 그 내용은 다음과 같다.
- 환곡(還穀)과 향곡(餉穀) 및 평역고(平役庫)의 나머지는 일체 방색(防塞)하게 하소서.
- 저곡모(儲穀耗)의 대신 지급은 세곡(稅穀)으로 하고 진모(賑耗)는 회록(會錄)하게 하소서.
- 목장 중에 방해가 되지 않는 곳은 목자(牧子)에게 경작하게 하되 절반은 감세하고, 목자의 원료(元料)는 갑인(甲寅) 절목(節目)에 의거하여 시행하게 하소서.
- 목마(牧馬)의 전락(剪烙)은 3년에 한 번씩 하되 마렵(馬鬣)의 봉진(封進)은 배년(排年)하여 갖춰 쓰게 하소서.
- 대정현의 목장에서 사토(私土)와 상환(相換)한 것은 목장으로 환원하고 문권(文券)은 불태우게 하소서.
- 진상에 들어가는 녹비(鹿皮)와 장피(獐皮) 이외의 각종 요구들은 일체 엄금하게 하소서.
- 선세(船稅)는 상선(上船)을 5냥으로 하여 차례로 체감(遞減)하는 것을 정식으로 시행하소서.
- 마상(馬商)의 세목(稅木)은 매 필마다 10척으로 세금을 균일하게 하소서.
- 세 고을의 곽세(藿稅)는 아울러 총액을 감면하고 늑매(勒買)는 금하소서.
- 정의현에 거주하는 전임 현감 강성익, 전임 찰방 고명학은 행의(行誼)가 있고, 제주에 거주하는 전 무겸(武兼) 선전관 고우태는 궁마(弓馬)에 익숙하고, 생원 오점은 문예가 있으므로, 모두 수용하게 하소서. 효자인 제주의 양인 임성언, 목자 고윤문(高允文)과 정의현의 장교 현윤경(玄胤慶)과 열녀인 제주의 고(故) 유생 전형원(田衡元)의 처 양씨(梁氏), 고 유생 오융복의 처 김씨(金氏), 대정의 고 유생 김창근의 처 김씨는 모두 포상하여 장려할 만하므로, 묘당으로 하여금 채택 · 시행하게 하소서.
이후 이재수는 1816년 사간원 대사헌, 1819년 이조참의를 거쳐 1820년 10월 경상도관찰사로 파견되어 임무를 수행하다가 1822년 1월 임지에서 사망하였다.