본관은 진천(鎭川). 자는 여성(汝省), 호는 송정(松亭). 아버지는 서영(署令) 송임(宋琳)이다.
1376년(우왕 2) 식년 문과에 동진사(同進士)로 급제하여 1390년(공양왕 2) 사헌부지평(司憲府持平)을 거쳐 지성주군사(知成州郡事)·우헌납(右獻納)이 되었다. 1391년 3월에 귀양갔다가 11월에 풀려났다. 조선시대에 들어와 사헌부집의(司憲府執義)를 거쳐 1402년(태종 2) 평양도찰방(平壤道察訪)이 되었다.
1406년 사찰의 전민(田民)을 줄이는 것에 반발한 승려 설연(雪然)·혜정(惠正)·윤제(允濟) 등을 장류(杖流)했는데, 당시 좌사간이던 송우는 처벌이 가볍다고 하면서 이들을 엄벌할 것을 주장하였다. 이어 예조참의가 되고 뒤에 판정주목사(判定州牧事)·판안변부사(判安邊府事)를 지냈다.