본관은 문화(文化). 초명은 유관(柳觀), 자는 몽사(夢思) · 경부(敬夫), 호는 하정(夏亭). 고려 명종 때 정당문학(政堂文學) 유공권(柳公權)의 6대손이며, 삼사판관 유안택(柳安澤)의 아들이다.
1371년(공민왕 20) 문과에 급제해 전리정랑(典理正郎) · 전교부령(典校副令)을 거쳐, 고려 말기에 봉산군수 · 성균사예(成均司藝) · 사헌중승(司憲中丞) 등을 역임하였다.
1392년 조선이 건국되자 개국원종공신이 되고, 이어 내사사인(內史舍人)으로 왕명에 의해 『대학연의(大學衍義)』를 진강(進講)하였다.
1397년(태조 6) 좌산기상시(左散騎常侍) · 대사성을 거쳐 다음해 형조전서를 지냈다. 1401년(태종 1) 대사헌으로서 상소해 불교를 적극 배척했고, 이어 간관을 탄핵했다는 이유로 파직되었다가 곧 다시 서용되어 계림부윤(鷄林府尹)이 되었다. 그러나 다시 무고를 받아서 문화에 유배되었다.
그 뒤 풀려나와 1405년 전라도도관찰사를 지내고, 이듬해 예문관대제학을 거쳐 판공안부사(判恭安府事)로 정조사가 되어 명나라에 다녀왔다. 이어 세자좌빈객(世子左賓客)을 거쳐 형조판서로 병서습독제조(兵書習讀提調)를 겸했고, 1409년 예문관대제학으로 지춘추관사(知春秋館事)를 겸했으며, 이듬해 『태조실록』 편찬을 주관하였다.
그 뒤 참찬 · 찬성 등을 역임하고 1418년(세종 즉위년) 다시 대제학으로 지경연사(知經筵事)를 겸하고, 이어 판중군도총제부사(判中軍都摠制府事) 등을 거쳐 1421년 다시 대제학으로 궤장(几杖)을 하사받았다.
1423년 지춘추관사로 『고려사』 개수의 명을 받고, 이듬해 우의정에 승진하여 『고려사』를 수교(讎校: 다른 것과 비교해 교정함.)해 올렸다.
1425년 벼슬을 사직했으나 허락받지 못했고, 81세가 된 이듬해 우의정으로 치사(致仕)하였다. 세종 때 청백리에 녹선되었다.
학문과 문장이 뛰어났다. 특히, 성품이 매우 청렴하고 청빈하였다. 한번은 장마로 집에 비가 줄줄 새자, 우산을 받쳐들고서 부인에게 “우산이 없는 집은 어떻게 할 것인가?”라고 말했다는 일화가 전한다.
문화의 정계서원(程溪書院)에 제향되었다. 저서로는 『하정집』이 있다. 시호는 문간(文簡)이다.